Можно ли прописаться в другом городе, чтобы не потерять право собственности в другом городе?

Здравствуйте Марина!

не совсем понятен ваш вопрос.

При купле-продаже квартиры вы утратите право собственности на квартиру после регистрации перехода права и права собственности за новым владельцем в росреестре.

А пока — даже если вы выпишитесь из квартиры вы не утрачиваете право собственности на нее.

ГК РФ Статья 235. Основания прекращения права собственности1.
Право собственности прекращается при отчуждении собственником своего
имущества другим лицам, отказе собственника от права собственности,
гибели или уничтожении имущества и при утрате права собственности на
имущество в иных случаях, предусмотренных законом.
2. Принудительное изъятие у собственника
имущества не допускается, кроме случаев, когда по основаниям,
предусмотренным законом, производятся:
1) обращение взыскания на имущество по обязательствам (статья 237);
2) отчуждение имущества, которое в силу закона не может принадлежать данному лицу (статья 238);
3) отчуждение недвижимого имущества в связи с изъятием земельного участка ввиду его ненадлежащего использования (статья 239);3.1)
отчуждение объекта незавершенного строительства в связи с прекращением
действия договора аренды земельного участка, находящегося в
государственной или муниципальной собственности (статья 239.1);3.2)
отчуждение недвижимого имущества в связи с принудительным отчуждением
земельного участка для государственных или муниципальных нужд (изъятием
земельного участка для государственных или муниципальных нужд (статья 239.2);4) выкуп бесхозяйственно содержимых культурных ценностей, домашних животных (статьи 240 и 241);
5) реквизиция (статья 242);
6) конфискация (статья 243);

Здравствуйте, Марина!

Прописку в Екаринбурге можете сделать любую — Ваше право собственности на квартиру на Севере никак не пострадает.

Когда Вы продадите свою квартиру на Севере, то право собственности на нее утратите. Прописка здесь опять же роли не играет.