Имеет ли право интернат настаивать на выселении родственницы, которая проживает в квартире опекаемого гражданина?

Выселять Вашу маму из квартиры вправе опекун.

Статья 35. Опекуны и попечители
КонсультантПлюс: примечание.
О назначении опекунов и попечителей см. также Федеральный закон от 24.04.2008 N 48-ФЗ.
1. Опекун или попечитель назначается органом опеки и попечительства по месту жительства лица, нуждающегося в опеке или попечительстве, в течение месяца с момента, когда указанным органам стало известно о необходимости установления опеки или попечительства над гражданином. При наличии заслуживающих внимания обстоятельств опекун или попечитель может быть назначен органом опеки и попечительства по месту жительства опекуна (попечителя). Если лицу, нуждающемуся в опеке или попечительстве, в течение месяца не назначен опекун или попечитель, исполнение обязанностей опекуна или попечителя временно возлагается на орган опеки и попечительства.
Назначение опекуна или попечителя может быть оспорено в суде заинтересованными лицами.
(в ред. Федерального закона от 18.12.2006 N 231-ФЗ)
КонсультантПлюс: примечание.
О лицах, которые не могут быть назначены опекунами и попечителями, см. также пункт 3 статьи 146 Семейного кодекса РФ от 29.12.1995 N 223-ФЗ.
О перечне заболеваний, при наличии которых лицо не может усыновить (удочерить) ребенка, принять его под опеку (попечительство), взять в приемную или патронатную семью, см. Постановление Правительства РФ от 14.02.2013 N 117.
2. Опекунами и попечителями могут назначаться только совершеннолетние дееспособные граждане. Не могут быть назначены опекунами и попечителями граждане, лишенные родительских прав, а также граждане, имеющие на момент установления опеки или попечительства судимость за умышленное преступление против жизни или здоровья граждан.
(в ред. Федерального закона от 24.04.2008 N 49-ФЗ)
3. Опекун или попечитель может быть назначен только с его согласия. При этом должны учитываться его нравственные и иные личные качества, способность к выполнению обязанностей опекуна или попечителя, отношения, существующие между ним и лицом, нуждающимся в опеке или попечительстве, а если это возможно — и желание подопечного.
4. Недееспособным или не полностью дееспособным гражданам, помещенным под надзор в образовательные организации, медицинские организации, организации, оказывающие социальные услуги, или иные организации, в том числе в организации для детей-сирот и детей, оставшихся без попечения родителей, опекуны или попечители не назначаются. Исполнение обязанностей опекунов или попечителей возлагается на указанные организации.

Ирина, добрый день! Ваша тетя, являясь дееспособным человеком и собственником квартиры, может только сама выписать и настаивать на выселении Вашей мамы. Что касается наследства, здесь необходимо знать, есть ли наследники у тети, и есть ли у нее завещание. В отсутствие завещания и других наследников и родственников Ваша мама является в соответствии со статьей 1143 ГК РФ наследником второй очереди этой квартиры. Удачи Вам!