Юлия, здравствуйте!
Согласно п. 5 ст. 13 ФЗ «Об обязательном социальном страховании на случай временной нетрудоспособности и в связи с материнством» от 29.12.2006 N 255-ФЗ:
5. Для назначения и выплаты пособий по временной нетрудоспособности, по беременности и родам застрахованное лицо представляет листок нетрудоспособности, выданный медицинской организацией по форме и в порядке, которые установлены федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере здравоохранения, по согласованию с федеральным органом исполнительной власти, осуществляющим функции по выработке и реализации государственной политики и нормативно-правовому регулированию в сфере труда и социальной защиты населения, Фондом социального страхования Российской Федерации, справку (справки) о сумме заработка, из которого должно быть исчислено пособие, с места (мест) работы (службы, иной деятельности) у другого страхователя (у других страхователей), а для назначения и выплаты указанных пособий территориальным органом страховщика — справку (справки) о сумме заработка, из которого должно быть исчислено пособие, и определяемые указанным федеральным органом исполнительной власти документы, подтверждающие страховой стаж.
Таким образом, для назначения пособия вам нужны: заявление о назначении пособия (составляется в свободной форме), больничный лист, справка о сумме заработка для расчета пособия.
Если данные документы у вас есть, можете требовать начисления и выплаты пособия. Если же назначать и выплачивать пособие будет территориальный орган страховщика, вам необходимо предоставить документ, подтверждающий трудовой стаж (трудовая книжка, а при ее отсутствии письменные трудовые договоры с мест работы и иные подобные документы).
При этом обратите внимание, что согласно ст. 66 ТК РФ трудовая книжка установленного образца является основным документом о трудовой деятельности итрудовом стаже работника. Уже сейчас у вас возникают вопросы по подтверждению 5-летнего стажа работы (с 2011 по 2016 года), дальше они также будут возникать, будет приходиться каждый раз доказывать его наличие. вы их сами себе простили, оформив новую трудовую книжку.
согласно п. 31 Правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденных Постановлением Правительства РФ от 16.04.2003 г. N 225:
лицо, утратившее трудовую книжку, обязано немедленно заявить об этом работодателю по последнему месту работы. Работодатель выдает работнику дубликат трудовой книжки не позднее 15 дней со дня подачи работником заявления.
Рекомендую вам оформить дубликат трудовой книжки, процедура эта несложная, как и предлагает новый работодатель.
Удачи!