Как возбудить дело, если истек срок давности преступления?

Ну там скорее всего несчастный случай а не умышленное преступление. Можете подать в порядке гражданского судопроизводства заявление о компенсации морального вреда.

Статья 151.ГК РФ Компенсация морального вреда

Если гражданину причинен моральный вред (физические или нравственные страдания) действиями, нарушающими его личные неимущественные права либо посягающими на принадлежащие гражданину нематериальные блага, а также в других случаях, предусмотренных законом, суд может возложить на нарушителя обязанность денежной компенсации указанного вреда.
При определении размеров компенсации морального вреда суд принимает во внимание степень вины нарушителя и иные заслуживающие внимания обстоятельства. Суд должен также учитывать степень физических и нравственных страданий, связанных с индивидуальными особенностями гражданина, которому причинен вред.

Статья 208. ГК РФ Требования, на которые исковая давность не распространяется

Исковая давность не распространяется на:
требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;
требования вкладчиков к банку о выдаче вкладов;
требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска, за исключением случаев, предусмотренных Федеральным законом от 6 марта 2006 года N 35-ФЗ «О противодействии терроризму»;
требования собственника или иного владельца об устранении всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения не были соединены с лишением владения (статья 304);
другие требования в случаях, установленных законом