Как принять на работу сотрудника без паспорта РФ и являющегося гражданином Армении?

Он может работать у вас со своим паспортом при наличии разрешения на работу в России и других документов, указанных ниже.

Иностранный гражданин должен, помимо основных документов (паспорт, документы об образовании и т.п.), предъявить следующие документы для заключения договора:

Статья 327.

3. ТК РФ
Наряду с документами, предусмотренными статьей 65 настоящего Кодекса, при заключении трудового договора поступающие на работу иностранный гражданин или лицо без гражданства предъявляют работодателю:
договор (полис) добровольного медицинского страхования, действующий на территории Российской Федерации, за исключением случаев, если работодатель заключает с медицинской организацией договор о предоставлении платных медицинских услуг работнику, являющемуся иностранным гражданином или лицом без гражданства, и случаев, установленных федеральными законами или международными договорами Российской Федерации, — при заключении трудового договора с временно пребывающими в Российской Федерации иностранным гражданином или лицом без гражданства. Договор (полис) добровольного медицинского страхования либо заключенный работодателем с медицинской организацией договор о предоставлении платных медицинских услуг работнику, являющемуся иностранным гражданином или лицом без гражданства, должен обеспечивать оказание такому работнику первичной медико-санитарной помощи и специализированной медицинской помощи в неотложной форме;
разрешение на работу или патент, за исключением случаев, установленных федеральными законами или международными договорами Российской Федерации, — при заключении трудового договора с временно пребывающими в Российской Федерации иностранным гражданином или лицом без гражданства;
разрешение на временное проживание в Российской Федерации, за исключением случаев, установленных федеральными законами или международными договорами Российской Федерации, — при заключении трудового договора с временно проживающими в Российской Федерации иностранным гражданином или лицом без гражданства;
вид на жительство, за исключением случаев, установленных федеральными законами или международными договорами Российской Федерации, — при заключении трудового договора с постоянно проживающими в Российской Федерации иностранным гражданином или лицом без гражданства.
Разрешение на работу может быть предъявлено иностранным гражданином или лицом без гражданства работодателю после заключения ими трудового договора, если заключенный и оформленный в соответствии с настоящим Кодексом трудовой договор необходим для получения разрешения на работу. В этом случае трудовой договор вступает в силу не ранее дня получения иностранным гражданином или лицом без гражданства разрешения на работу, а сведения о разрешении на работу вносятся в трудовой договор в порядке, установленном частью третьей статьи 57 настоящего Кодекса.
При заключении трудового договора поступающие на работу иностранный гражданин или лицо без гражданства не предъявляют работодателю документы воинского учета, за исключением случаев, установленных федеральными законами или международными договорами Российской Федерации, указами Президента Российской Федерации, постановлениями Правительства Российской Федерации.