Имеет ли право иностранный банк требовать документ из налоговой инспекции в РФ об открытии счёта?

Да, имеет, хотя, как правило, иностранные банки этого не делают. Обязанность известить органы ФНС РФ об открытии счета в зарубежном банке лежит на гражданине и самому банку без разницы исполнили вы эту обязанность или нет. Если Вы ее не исполнили, то у Вас будут трудности с переводом денег из РФ на свой счет за границей. Однако, есть случаи, когда иностранные банки открывают счета, выдают гражданам уведомления для ФНС и требуют передать им корешок из налоговой. Они считают, что сам по себе факт извещения гражданином органов ФНС свидетельствует о легальности его доходов, которые есть на счете, или могут появиться в будущем.