За какое время велосипедист может подать на меня в суд, за принесённые ему травмы?

Здравствуйте, Евгений! Для ответа на Ваш вопрос следует обратиться к статье 208 Гражданского Кодекса РФ. Согласно указанной норме исковая давность не распространяется на:
-требования о защите личных неимущественных прав и других нематериальных благ, кроме случаев, предусмотренных законом;
-требования вкладчиков к банку о выдаче вкладов;
— требования о возмещении вреда, причиненного жизни или здоровью гражданина. Однако требования, предъявленные по истечении трех лет с момента возникновения права на возмещение такого вреда, удовлетворяются за прошлое время не более чем за три года, предшествовавшие предъявлению иска, за исключением случаев, предусмотренных Федеральным законом от 6 марта 2006 года N 35-ФЗ «О противодействии терроризму»;
— требования собственника или иного владельца об устранении всяких нарушений его права, хотя бы эти нарушения не были соединены с лишением владения (статья 304);
другие требования в случаях, установленных законом.
Таким образом, потерпевший ДТП вправе обратиться в суд с иском в любое время.