Увольнение за прогул, если написал согласованное с руководством заявление за свой счет

Добрый день.
Если докажете, что действительно не могли выйти по состоянию здоровья, то нет.

«Трудовой кодекс Российской Федерации» от 30.12.2001 N 197-ФЗ (ред. от 03.07.2016) (с изм. и доп., вступ. в силу с 31.07.2016)ТК РФ, Статья 81. Расторжение трудового договора по инициативе работодателя

Путеводители по кадровым вопросам и трудовым спорам. Вопросы применения ст. 81 ТК РФ

Трудовой договор может быть расторгнут работодателем в случаях:
1) ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

2) сокращения численности или штата работников организации, индивидуального предпринимателя;
(в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

3) несоответствия работника занимаемой должности или выполняемой работе вследствие недостаточной квалификации, подтвержденной результатами аттестации;
(п. 3 в ред. Федерального закона от 30.06.2006 N 90-ФЗ)

(см. текст в предыдущей редакции)

4) смены собственника имущества организации (в отношении руководителя организации, его заместителей и главного бухгалтера);
5) неоднократного неисполнения работником без уважительных причин трудовых обязанностей, если он имеет дисциплинарное взыскание;
6) однократного грубого нарушения работником трудовых обязанностей:
а) прогула, то есть отсутствия на рабочем месте без уважительных причин в течение всего рабочего дня (смены), независимо от его (ее) продолжительности, а также в случае отсутствия на рабочем месте без уважительных причин более четырех часов подряд в течение рабочего дня (смены);

Здравствуйте, Александр!

Формально, следуя букве закона, — да, это прогул. Вы отсутствовали на рабочем месте без уважительных причин, работодатель Вас не отпускал, письменного разрешения не присутствовать на работе у Вас нет.
Написав письмо, Вы только сообщили руководству о том, что хотите взять дополнительный выходной. Письменного согласия на это Вы не получали, приказ об этом не издавался. Вам могли отказать в предоставлении дня отдыха. Это и произошло.
Если Вы будете оспаривать увольнение за прогул в судебном порядке, суд примет во внимание содержание Вашей переписки с руководством. И если в суде подтвердится, что работодатель разрешил Вам отсутствовать, пусть даже и без оформления документов, то, полагаю, Вас восстановят на рабочем месте. У Вас сохранился текст ответного смс от руководства об отгуле и отпуске за свой счёт? Если да — это хорошо. Но если об этом было сказано устно, по телефону, и руководитель откажется от своих слов, то, боюсь, Вам нечем будет в суде доказывать свою позицию.