Добрый день, что значит сказали заявление не писать? Вы были официально оформлены у работодателя? Судя по ответу Вашего работодателя о заявлении об увольнении, то неофициально, и тогда здесь все на честном слове, как сказали, так и выплатят.
Если все же Вы были оформлены официально и независимо сколько вы отработали, то для увольнения обязательно Ваше заявление об увольнении и расчет работодатель обязан произвести в последний день работы. Если работодатель задерживает окончательный расчет с уволенным работником, то есть все основания обращаться за защитой своих нарушенных прав.
Здесь может быть ловушка, Вы работодателя предупредили, Вам сказали, что заявление не обязательно писать, последний день работы у Вас был 16 августа, с 17 Вы не выходили на работу и у Вас нет уважительных причин, то работодатель может Вас уволить за прогул.