Егор, добрый вечер!
Открыть ИП по доверенности не возможно, но возможно в доверенности указать полномочия на сдачу документов в налоговую для регистрации Вас в качестве ИП и получения свидетельства о государственной регистрации физ.лица в качестве ИП.
У нотариуса необходимо
— засвидетельствовать Вашу подпись на заявлении о регистрации Вас в качестве ИП (форма Р21001 — данную форму Вы заполняете самостоятельно, соблюдая правила заполнения, нотариус только свидетельствует вашу подпись на нем),
— заверить копию всех страниц Вашего паспорта,
— удостоверить доверенность на родителя.
Все эти три документа понадобятся для регистрации вас в качестве ИП. Пошлину за регистрацию родителю смогут заплатить на месте