Здравствуйте, Нина. Проживание в чужом доме, осуществление в нем ремонта, внесение платежей, отсутствие другого жилья, несовершеннолетние дети и т.п. не могут являться основанием для возникновения права собственности. Имущество, имеющее собственника может быть приобретено в собственность другого лица только на основании сделок (дарения, купли-продажи, завещания, ренты и т.п.).
Я вижу тут один способ. Дети должны признать своего отца умершим, признать, опять же, в судебном порядке, право собственности на наследство — дом. А потом подарить или продать дом вам. В результате сделки с собственником вы станете собственником дома.
Если сыновья не хотят с этим заниматься, вы можете получить у них (или одного из них) доверенность на все указанные действия, кроме сделки. По доверенности вы не сможете оформить сделку сами на себя. Но это уже другой вопрос. Лучше с правом передоверия, т.к. вряд ли вы справитесь без помощи юриста. Еще лучше оформить доверенность сразу на юриста. Тогда он может выступать и представителем сына или сыновей при заключении и регистрации сделки.
Если дом не принадлежал муниципалитету или государству, она его приватизировать никак не могла. Возможно, для оформления дома в собственность, у нее были правовые основания. У вас их нет.
Пусть приходят. Вы разве имеете отношение к этому? Как это может влиять на возникновение права собственности у вас на дом? У нее — одна ситуация, у вас — другая. Я не знакома ни с соседкой, ни с правовыми основаниями, на которых у нее возникло право на дом. Не располагая никакой информацией, ничего сообщить вам по поводу соседки не могу.