Здравствуйте, Наталья. Если вы работаете по гражданско-трудовому договору, у вас не может быть зарплаты. Зарплаты бывает только у работников по трудовому договору. Оплата больничных листов — одна из гарантий прав работника в рамках трудовых правоотношений. Вы работаете не по трудовому договору и вторая сторона не является вашим работодателем, обязанным оплачивать листок нетрудоспособности. Да и как оплачивать, если по договору подряда у вас не заработная плата, а оплата за выполненную работу?
Организация, как налоговый агент, обязана удерживать с доходов от ваших выплат 13% в бюджет. В противном случае, это пришлось бы делать вам самой.
Иное дело, если между вами фактически трудовые отношения, замаскированные под гражданско-правовой договор. Тогда можно обратиться в суд с требованием оформить с вами трудовой договор и оплатить больничный лист. Либо в Госинспекцию труда. Но нужно ли это делать, сказать не могу, т.к. не имею для этого всех необходимых данных.