Здравствуйте.
Отвечу по поводу штрафов и эвакуации. Однозначно, не могут, поскольку меры наказания либо принуждения являются административными и находятся в ведении государства, а не частных лиц и организаций.
Однако, остальные моменты, платность парковки сверх установленного лимита, либо ограничение в пользовании парковкой в будущем, полагаю могут быть прописаны частной организацией в Правилах пользования частной парковкой. То есть здесь будут действовать гражданско-правовые отношения. Раз вы согласились воспользоваться частной парковкой, значит согласились с ее Правилами.
При этом указанная парковка сама должна быть законной, то есть согласована как минимум с муниципалитетом и ГИБДД.
В Вашем аэропорту похожая схема, полагаю она законна.
С уважением! Г.А. Кураев
Спасибо, Геннадий Александрович, за ответ.