Здравствуйте, Юлия.
Действительно, в больницах часто требуют согласие родителей на лечение их ребенка (если родителей нет там, где находится ребенок). В этом случае Вы идете к нотариусу, берете паспорт и свидетельство о рождении ребенка, паспортные данные бабушки и оформляете согласие на сопровождение ребенка по территории РФ. Отправляете согласие почтой (или экстренной почтой). В этом случае бабушка может совершать действия в отношении ребенка без Вас (это касается не только больниц, но и ж/д вокзалов, аэропортов, школ, детских садов и других мест где могут затребовать такое согласие). И на будущее совет — всегда когда отправляете ребенка в другой город по территории РФ — всегда снабжайте сопровождающих (бабушек-дедушек, дядь-теть) таким согласием, чтобы они могли в чрезвычайных случаях действовать от Вашего имени.
Если ответы помогают Вам разобраться в ситуации — не забывайте ставить плюсики.