Устроена ли я на работу официально или без ИНН это невозможно?

Добрый день! Да, конечно можно. При оформлении по трудовому договору работодатель не в праве требовать у вас ИНН, так как этот документы отсутствует в перечне документов, требуемых для предъявления в соответствии со ст. 65 ТК РФ:

Статья 65. Документы, предъявляемые при заключении трудового договора
… при заключении трудового договора лицо, поступающее на работу, предъявляет работодателю:
— паспорт или иной документ, удостоверяющий личность;
— трудовую книжку, за исключением случаев, когда трудовой договор заключается впервые или работник поступает на работу на условиях совместительства;
— страховое свидетельство обязательного пенсионного страхования;
— документы воинского учета — для военнообязанных и лиц, подлежащих призыву на военную службу;
— документ об образовании и (или) о квалификации или наличии специальных знаний — при поступлении на работу, требующую специальных знаний или специальной подготовки;
— справку о наличии (отсутствии) судимости и (или) факта уголовного преследования либо о прекращении уголовного преследования по реабилитирующим основаниям…
Запрещается требовать от лица, поступающего на работу, документы помимо предусмотренных настоящим Кодексом, иными федеральными законами, указами Президента Российской Федерации и постановлениями Правительства Российской Федерации.