Здравствуйте, Катерина!
Прежде всего, внимательно прочитайте условия кредитного договора о регистрации по месту жительства в заложенной квартире. Иногда банк прописывает условия получения предварительного согласия на регистрацию третьих лиц по месту жительства в заложенной квартире постоянно или временно, а иногда прямо прописан запрет на регистрацию 3-х лиц в заложенной квартире.
По сути, прописать без согласия банка можно своего несовершеннолетнего ребенка, а вот третье лицо, не являющееся членом семьи… Здесь уже читайте договор.
Какие последствия могут быть для вас? Если Вы укажете в заявлении о согласии на регистрацию в принадлежащей вам на праве собственности квартире срок регистрации, она автоматически прекратиться по истечении срока, только надо внимательно смотреть, чтобы срок регистрации несовершеннолетнего не превышал срока регистрации родителя, иначе родитель по окончании срока своей регистрации может получить право принудительно через суд зарегистрироваться вновь по адресу своего ребенка.
Никаких вещных прав на квартиру они не получат и претендовать на вашу квартиру не смогут.
ну и материальный вопрос: если у Вас не установлены счетчики, изменится размер Вашей кварплаты (в зависимости от количества зарегистрированных лиц)