Может ли наймодатель выселить семью, в состав которой входит несовершеннолетний ребенок?

Добрый день, так как договор найма заключен на срок 6 месяцев, то Вы (согласно ст. 683, 684 ГК РФ) не обладаете преимущественным правом на заключение договора на новый срок. Поэтому Вам может быть отказано в продление найма. Лучше всего было бы отразить условия продление договора найма в самом тексте договора или заключить дополнительный договор.

Статья 683. Срок в договоре найма жилого помещения
1. Договор найма жилого помещения заключается на срок, не превышающий пяти лет. Если в договоре срок не определен, договор считается заключенным на пять лет.
2. К договору найма жилого помещения, заключенному на срок до одного года (краткосрочный наем), не применяются правила, предусмотренные пунктом 2 статьи 677, статьями 680, 684 — 686, абзацем четвертым пункта 2 статьи 687 настоящего Кодекса, если договором не предусмотрено иное.
Статья 684. Преимущественное право нанимателя на заключение договора на новый срок
По истечении срока договора найма жилого помещения наниматель имеет преимущественное право на заключение договора найма жилого помещения на новый срок.
Не позднее чем за три месяца до истечения срока договора найма жилого помещения наймодатель должен предложить нанимателю заключить договор на тех же или иных условиях либо предупредить нанимателя об отказе от продления договора в связи с решением не сдавать в течение не менее года жилое помещение внаем. Если наймодатель не выполнил этой обязанности, а наниматель не отказался от продления договора, договор считается продленным на тех же условиях и на тот же срок.