Здравствуйте, Елена. По большому счету, вопрос не в регистрации, а в праве пользования квартирой. Это право возникает при вселении в квартиру с соблюдение закона. Т.е. вы, для необходимости и возможности регистрации, должны быть вселены в квартиру собственником, или нанимателем с согласия наймодателя. Ваш родственник недееспобен, поэтому не может сам осуществлять права и нести обязанности, в т.ч., и вселить вас.
Опека может иногда разрешать пользоваться имуществом подопечного, но не всем желающим, а опекуну. Вы. как полагаю, опекуном не являетесь. Значит, у опеки нет оснований разрешать вам пользование квартирой.
Право на труд никак не связано с наличием или отсутствием регистрации по месту жительства. Более того, отказ в приеме на работу из-за отсутствие регистрации рассматривается как дискриминация и является противозаконным. Всегда можно найти работу, независимо от того, есть или нет регистрация по месту жительства. И у вас обязательно получится.