Здравствуйте, Юлия. Делать выводы вот так сразу, даже будучи студентом-медиком, все же неправильно. Для начала я бы посоветовала Вашей маме обратиться на консультацию в другую клинику, чтобы получить т.н. «второе» независимое мнение. Это будет дешевле, чем сразу проводить экспертизу. Тем более, что суд будет назначать свою, судебно-медицинскую экспертизу практически в любом случае.
Затем вам с мамой нужно определиться с тем, что вы все-таки хотите «предъявить»? Вы можете требовать лечения (в натуре), возмещения расходдов в случае лечения в другом месте (если докажете, что необходимость лечения все-таки возникла по вине именно данной клиники), возврата денег за некачественное лечение, и компенсации морального вреда.
Определившись с требованиями и наличием доказательств вашей правоты, можно писать досудебную претензию. Как показывает практика, в досудебном порядке от врачей редко удается добиться чего-либо, кроме исполнения обязательства в натуре. Поэтому следующий этап — судебная защита прав.
Если вы уверены, что виноват укол как таковой (т.е. нарушение правил асептики), то могу посоветовать как можно скорее обратиться с жалобой в роспотребнадзор на предмет проведения проверки соблюдения сан-гиг режима в медорганизации. Если нарушения будет выявлены, то на суд такое доказательство, вероятно, подействует, даже несмотря на то, что инфицирование Вашей мамы произошло раньше, чем была проведена проверка. Если же нарушений не выявят, то доказать инфицирование во время инъекции практически не представляется возможным.