По месту прописки не проживала, но хотят взыскать квартплату

Согласно ст. 6 Закона РФ от 25.06.1993 N 5242-1 (ред. от 01.07.2011) "О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации", гражданин Российской Федерации, изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к должностному лицу, ответственному за регистрацию, с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:

паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;

документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (ордер, договор, заявление лица, предоставившего гражданину жилое помещение, или иной документ), или его надлежаще заверенная копия.

Заявление, а также иные документы, указанные в настоящей статье, могут быть представлены в форме электронных документов, порядок оформления которых определяется Правительством Российской Федерации, и направлены в орган регистрационного учета с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе сети Интернет, включая единый портал государственных и муниципальных услуг.

Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов на регистрацию.

Таким образом, Вам не обязательно сниматься с регистрационного учета по старому адресу, Вас снимут со старого адреса регистрации после регистрации по новому адресу.

А по поводу оплаты за проживание, пусть обращаются в суд, но если Вы в суде заявите о пропуске сроков исковой давности, с Вас смогут взыскать только за посление три года.