Отпуск без сохранения ЗП, также как и ежегодный отпуск, командировка и т.д. относятся к обычной текущей деятельности предприятия, которая находится в ведении генерального директора. Если в учредительных документах, или контракте с гендиректором не оговорено иное, то обычно решение по этим вопросам, в том числе и в отношении самого себя, принимает директор (наверное, сложно представить крупное акционерное общество со сотнями акционеров, которое созывало бы внеочередное собрание, чтобы отпустить директора на пару деньков в отпуск).
Заявление при этом обычно не пишется, руководитель издает приказ, в котором, в том числе решает вопрос о замещающем лице (если нет сотрудника, в чьи должностные обязанности входит замещение на время отсутствия генерального директора). Данный приказ является информацией и основанием для служб, осуществляющих учет рабочего времени, для бухгалтерии и т.д.