Добрый день, Екатерина!
Ваша ситуация небезнадежна, даже и при неофициальном оформлении.
Собираете как можно больше документальных подтверждений факта Вашего нахождения на данном рабочем месте (свидетельские показания коллег из соседних отделов, ксерокопии из журнала прихода-ухода и т.д.) и с этими документами обращайтесь в Государственную инспекцию по труду.
Трудовой кодекс РФ:
Статья 67. Форма трудового договора
Трудовой договор заключается в письменной форме, составляется в двух экземплярах, каждый из которых подписывается сторонами. Один экземпляр трудового договора передается работнику, другой хранится у работодателя. Получение работником экземпляра трудового договора должно подтверждаться подписью работника на экземпляре трудового договора, хранящемся у работодателя.
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя.
При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе, а если отношения, связанные с использованием личного труда, возникли на основании гражданско-правового договора, но впоследствии были признаны трудовыми отношениями, — не позднее трех рабочих дней со дня признания этих отношений трудовыми отношениями, если иное не установлено судом.
Удачи Вам! С уважением, Страхова Елена.