Здравствуйте, Шамиль! Вы, конечно, можете не ходить обратно на старую работу. Если Вы оформлены «неофициально», без трудовой, то Вам ничего не будет, но, если оформление официальное («по ТК РФ»), то Вас могут уволить за прогул с занесением записи в трудовую книжку.
В крайнем случае, закон допускает написание заявления дистанционно, т.е. Вы можете отправить заявление об увольнении почтой заказным письмом с уведомлением, соответствующей телеграммой (она должна быть заверена работником почты) и тп. Работодателя, конечно, необходимо предупредить заранее, можете еще созвониться до отправки заявления. Все очень сильно зависит от самого работодателя и Ваших отношений с ним.