Здравствуйте Аврора!
Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе ( ст.67 ТК РФ).
А почему могут взять теперь только с 1 октября? У Вас берут на работу только в первых числах месяца?
Во-первых, если не было с 15 числа никаких приказов о приеме/увольнении по организации, то никакой проблемы вообще не вижу: кадры издают приказ сегодня и датируют 15 сентября. Или же пусть номеруют приказ «23-к-1».
Если это для них очень большая проблема, то пусть оплачивают совмещение, как я понимаю, на данный момент Вы еще числитесь экономистом. Или же производят доплату за увеличенный объем работ.