Доброй ночи, Рафкат!
Вы можете зарегистрироваться по месту пребывания.
Согласно ст. 2 Закона РФ от 25.06.1993 г. N 5242-I
место пребывания — это гостиница, санаторий, дом отдыха, пансионат, кемпинг, туристская база, больница, другое подобное учреждение, учреждение уголовно-исполнительной системы, исполняющее наказания в виде лишения свободы или принудительных работ, а также жилое помещение,не являющееся местом жительства гражданина, — в которых он проживает временно.
Регистрация граждан по месту пребывания осуществляется на срок по взаимному соглашению с собственником или нанимателем помещения.
То есть, Вы можете зарегистрироваться по месту съемной квартиры, если её собственник будет согласен.
Порядок регистрации и перечень документов регламентирован статьей 9
Правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации и перечень должностных лиц, ответственных за регистрацию, утвержденными Постановлением Правительства РФ 17.07.1995 г. № 713.
Регистрация по месту жительства и месту пребывания — это обязанность гражданина РФ.