Здравствуйте, надежда!
Из Вашего вопроса не понятно, снимался ли Ваш сын с семьёй, с прежнего места жительства, какие документы Вы прикладывали к заявлению.
В законе нет особых ограничений для регистрации граждан по новому месту жительства.
Согласно закону «О праве граждан Российской Федерации на свободу передвижения, выбор места пребывания и жительства в пределах Российской Федерации»
Статья 6. Регистрация гражданина Российской Федерации по месту жительства
Гражданин Российской Федерации (за исключением случая, предусмотренного статьей 6_1 настоящего Закона), изменивший место жительства, обязан не позднее семи дней со дня прибытия на новое место жительства обратиться к лицу, ответственному за прием и передачу в органы регистрационного учета документов для регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, а в случаях, предусмотренных настоящим Законом и правилами регистрации и снятия граждан Российской Федерации с регистрационного учета по месту пребывания и по месту жительства в пределах Российской Федерации, непосредственно в орган регистрационного учета с заявлением по установленной форме. При этом предъявляются:
паспорт или иной заменяющий его документ, удостоверяющий личность гражданина;
документ, являющийся в соответствии с жилищным законодательством Российской Федерации основанием для вселения в жилое помещение, за исключением случаев, предусмотренных настоящим Законом и другими федеральными законами, или его надлежаще заверенная копия. Гражданин Российской Федерации вправе не предъявлять документ, являющийся основанием для вселения гражданина в жилое помещение (договор социального найма, договор найма жилого помещения государственного или муниципального жилищного фонда, прошедшие государственную регистрацию договор или иной документ, выражающие содержание сделки с недвижимым имуществом, свидетельство о государственной регистрации права либо иной документ), если сведения, содержащиеся в соответствующем документе, находятся в распоряжении государственных органов или органов местного самоуправления. В данном случае орган регистрационного учета самостоятельно запрашивает соответствующий документ (сведения, содержащиеся в нем), выписку из соответствующего реестра, иную информацию в соответствии с законодательством Российской Федерации в государственных органах, органах местного самоуправления и производит регистрацию гражданина по месту жительства не позднее восьми рабочих дней со дня подачи им заявления о регистрации по месту жительства и документа, удостоверяющего личность в соответствии с законодательством Российской Федерации.
Заявление, а также иные документы, указанные в настоящей статье, могут быть представлены в форме электронных документов, порядок оформления которых определяется Правительством Российской Федерации, и направлены в орган регистрационного учета с использованием информационно-телекоммуникационных сетей общего пользования, в том числе сети Интернет, включая единый портал государственных и муниципальных услуг
Орган регистрационного учета обязан зарегистрировать гражданина по месту жительства не позднее трех дней со дня предъявления им документов (подачи им заявления и документов в форме электронных документов) на регистрацию.
Если Вы предоставили все документы указанные в законе и соблюли порядок, то отказ по причине неправильного составленного заявления можно признать незаконным, как путем подачи жалобы вышестоящему начальству так и через суд.
При этом как правило в УФМС на стендах всегда имеются образцы заявление в том числе и по поводу регистрации граждан.
Все правильно, либо регистрировать по месту пребывания (при этом можно установить срок). А зарегистрировать по месту жительства могут только на постоянной основе (поэтому часто бывают суду, что сначала пропишут человека, а потом его не выпишешь)