Можно ли продлить миграционную карту при работе по договору ГПХ?

Канат, добрый день. Получить штамп (печать) в миграционную карту при работе по договору ГПХ (гражданско-правового характера) можно, но это зависит от Вашего гражданства.
Договор ГПХ является законным основанием для продления срока временного пребывания в РФ. Однако процедура имеет важные особенности:

Зависимость от гражданства.
Для граждан ЕАЭС (Казахстан, Кыргызстан, Армения, Беларусь): Вы имеете право работать в РФ по договору ГПХ без патента. На основании заключенного договора ГПХ Вам и Вашей принимающей стороне (работодателю или собственнику жилья) необходимо обратиться в МВД для продления миграционного учета. В этом случае в миграционную карту проставляется штамп о продлении срока временного пребывания. 
Для граждан других безвизовых стран (например, Узбекистан, Таджикистан, Азербайджан): Работать по договору ГПХ можно, но только при наличии действующего трудового патента. В данном случае миграционный учет продлевается не по самому договору ГПХ, а на основании чеков об оплате патента. При оплате патента штамп в саму миграционную карту обычно не ставится, подтверждением продления служит отрывная часть бланка уведомления (регистрация) и чеки. Что нужно сделать, чтобы продлить учет по ГПХ:
Организация-заказчик обязана в течение 3 рабочих дней с момента подписания договора ГПХ направить уведомление о его заключении в МВД.
После этого необходимо подать документы на продление временного пребывания в территориальный орган МВД по вопросам миграции или МФЦ.
Пакет документов: Паспорт, оригинал миграционной карты, действующая регистрация, оригинал и копия договора ГПХ, а также документы от принимающей стороны (собственника жилья или компании). 

Чтобы я мог дать точный алгоритм, уточните: гражданином какой страны Вы являетесь и есть ли у Вас действующий патент (если он необходим)?