Здравствуйте, Артем. Соболезную вашей утрате.
Судя по ситуации, отец не записан в вашем свидетельстве о рождении. Тогда для выплат и наследства его отцовство нужно оформить юридически: одного ДНК-теста недостаточно, нужно решение суда.
1. Отцовство и отчество. Если родители не были в браке, вы как совершеннолетний вправе сами обратиться в суд с заявлением об установлении отцовства (ст. 49 СК РФ), и ДНК-экспертиза будет главным доказательством. Если отец при жизни признавал себя вашим отцом, можно заявить об установлении факта признания отцовства (ст. 50 СК). На основании решения суда ЗАГС внесёт сведения об отце в запись о рождении. Отчество по закону присваивается по имени отца (п. 2 ст. 58 СК), поэтому его меняют вместе с исправлением записи — это следствие установления отцовства, а не отдельное требование.
2. Почему «частями». Выплаты за погибшего делятся между всеми членами семьи: например, единовременное пособие 3 млн руб. выплачивается членам семьи в равных долях (ч. 8 ст. 3 Федерального закона № 306-ФЗ), так же распределяются и другие выплаты. Кроме того, их назначают разные органы и в разные сроки.
3. Важно про возраст. По п. 3 ч. 11 ст. 3 закона № 306-ФЗ ребёнок старше 18 лет считается членом семьи для этих выплат, только если он стал инвалидом до 18 лет или учится очно (до окончания учёбы, но не дольше чем до 23 лет). Если вы не учитесь очно и инвалидности нет, на эти выплаты, скорее всего, рассчитывать не получится — уточните это заранее.
4. Наследство. Здесь возраст не важен: после установления отцовства вы наследник первой очереди (ст. 1142 ГК РФ). Срок принятия наследства — 6 месяцев со дня смерти, указанного в свидетельстве (ст. 1154 ГК). Если он уже прошёл, его можно попросить восстановить в суде (ст. 1155 ГК) в течение 6 месяцев после того, как отпала причина пропуска; уважительность причины суд оценивает в каждом деле отдельно. Требования об отцовстве и о восстановлении срока можно заявить в одном иске.
Если вашими делами занимается крёстная по доверенности, попросите у неё копии всех заявлений и ответов, чтобы самому видеть, что происходит.