Нет. Оформление отцом компенсации за поднаем жилья и включение ребенка в справку о составе семьи сами по себе не меняют место жительства ребенка и не доказывают, что он фактически проживает с отцом.
При раздельном проживании родителей место жительства ребенка определяется соглашением родителей, а при споре — судом исходя из интересов ребенка (п. 3 ст. 65 СК РФ). Регистрация, справка с места работы и документы на жилищную выплату учитываются лишь как отдельные доказательства наряду с фактическим проживанием, посещением школы или сада, медицинским обслуживанием, расходами на ребенка и показаниями свидетелей.
Передавать бывшему супругу оригиналы документов без понятной необходимости Вы не обязаны. Он как отец вправе самостоятельно получать повторные документы и сведения о ребенке, если не ограничен в родительских правах. Если согласны помочь, безопаснее дать копии с пометкой «для оформления поднаема» и предварительно попросить письменный перечень документов от его работодателя. Не подписывайте заявление о проживании ребенка с отцом, если это не соответствует действительности.
Угроза «растратой алиментов» сама по себе правовых последствий не создает. Закон не устанавливает обязанность ежемесячно отчитываться перед плательщиком по каждому расходу, если это отдельно не предусмотрено соглашением или судебным актом. По п. 2 ст. 60 СК РФ суд по требованию плательщика может разрешить перечислять до 50% алиментов на счет ребенка, но для этого нужны основания. Использование части семейного бюджета на жилье, питание и бытовые расходы, обеспечивающие ребенка, не является растратой.
Лишение родительских прав возможно только по основаниям ст. 69 СК РФ; спор об алиментных расходах к ним не относится. На случай конфликта сохраняйте документы о фактическом проживании ребенка с Вами и основных расходах, а угрозы — в переписке. Если место жительства ребенка ранее не закреплено соглашением или судом и спор становится реальным, его можно определить отдельным соглашением либо иском.