Здравствуйте! «Отказаться» от ребёнка по закону нельзя: родители не подают заявление о добровольном отказе от родительских прав, а лишение родительских прав происходит только через суд и по основаниям, указанным в Семейном кодексе, в том числе при отказе без уважительных причин забрать ребёнка из медицинской или социальной организации. Если ваша цель — не лишение прав, а постоянный уход за ребёнком, законный путь обычно не суд, а обращение в орган опеки и соцзащиту для оформления стационарного или временного помещения ребёнка в организацию социального обслуживания по заявлению родителей; при этом родительские права и обязанности сохраняются.
Да, если суд всё же лишит вас обоих родительских прав, обязанность платить алименты сохранится, и суд должен решить этот вопрос одновременно с делом о лишении прав. На одного ребёнка алименты обычно взыскиваются с каждого родителя отдельно по общим правилам — как правило, 1/4 заработка и иного дохода каждого родителя либо в твёрдой сумме, если доход нерегулярный.
Если ребёнок будет находиться в учреждении, алименты зачисляются либо на счёт учреждения с раздельным учётом по ребёнку, либо на личный счёт ребёнка, когда передача другому родителю невозможна. Прямого права родителей, лишённых прав, контролировать расходование этих средств закон обычно не даёт, потому что после лишения прав они утрачивают право на воспитание и представительство интересов ребёнка, сохраняя лишь обязанность по содержанию.
С практической точки зрения вам лучше начать не с суда, а с письменного обращения в орган опеки и попечительства и в соцзащиту по месту жительства для подбора формы стационарного ухода, интерната или временного помещения ребёнка по заявлению родителей. Это законнее и безопаснее, чем пытаться «оформить отказ», который сам по себе российским правом не предусмотрен.