Может ли нотариус отправить доверенность в другой город?

Нотариус не отправляет доверенность «сам по себе» как письмо. Он либо выдает её вам на руки, либо передает другому нотариусу в рамках специального электронного взаимодействия. Всё зависит от того, для чего и куда она нужна. Если доверенность удостоверяется в Единой информационной системе нотариата (ЕИС), то она существует в цифровом виде.
Вы делаете доверенность у любого нотариуса в стране. Данные мгновенно попадают в общую базу.
Нотариус в другом городе может проверить её подлинность онлайн по реестру. Физически пересылать бумагу не нужно.
Не все организации (банки, госорганы, суды) в регионах готовы работать только с электронной проверкой. Часто они всё равно требуют бумажный оригинал с «живой» печатью.

Пересылка через почту или курьера (Классический способ)
Нотариус выдает бумажный оригинал доверенности вам (доверителю).
Вы сами отправляете этот оригинал почтой (заказным письмом с уведомлением) или курьерской службой (СДЭК, DHL и т.д.) человеку в другом городе.
Нотариус не несет ответственности за доставку. Как только он выдал вам документ, ваша задача — доставить его адресату.
Всегда отправляйте оригинал, а не копию. Многие учреждения принимают только оригиналы.

Уточните у получателя (в другом городе): Примут ли они скан/копию доверенности? (Обычно нет).
Нужен ли им именно бумажный оригинал? (Чаще всего да).
Есть ли у них возможность проверить доверенность по электронному реестру? (Если да, то можно просто сообщить им номер и дату удостоверения).
Если нужен бумажный оригинал: Получите его у своего нотариуса.
Отправьте надежной курьерской службой или заказным письмом с треком-номером.
Сохраните чек об отправке.
Если вы хотите, чтобы нотариус сам всё организовал: Спросите у своего нотариуса, есть ли у него услуга «передачи документов партнеру в другом городе». Некоторые крупные нотариальные конторы имеют такие договоренности, но это платная дополнительная услуга, а не обязанность по закону.