Уважаемый Александр!
Да, Вы вправе требовать полный расчет в день прекращения работы, а не ждать общей даты выплаты зарплаты в сентябре.
То обстоятельство, что трудовой договор с Вами письменно не оформили, само по себе не лишает Вас трудовых прав. Если Вы фактически приступили к работе с ведома или по поручению работодателя, трудовой договор считается заключенным. Работодатель был обязан оформить его письменно не позднее трех рабочих дней — ч. 2 ст. 67 ТК РФ.
При прекращении трудовых отношений все причитающиеся работнику суммы должны быть выплачены в день увольнения (ст. 140 ТК РФ). Перенос расчета на сентябрь только потому, что тогда у работодателя установлен обычный день зарплаты, требованиям закона не соответствует.
В Вашей ситуации важно сохранить доказательства работы с 14-го числа: переписку с руководителем, графики и смены, фотографии с рабочего места, пропуск, сведения о ранее полученных выплатах, сообщения о размере зарплаты, контакты коллег и иные подтверждения фактической работы.
Алгоритм действий
Шаг 1. Письменно сообщите работодателю о прекращении работы и потребуйте произвести окончательный расчет.
Шаг 2. Если деньги не выплатят, Вы вправе обратиться в Государственную инспекцию труда и прокуратуру.
Шаг 3. Если работодатель вообще станет отрицать факт Вашей работы, можно обратиться в суд с требованиями об установлении факта трудовых отношений и взыскании заработной платы. Отсутствие письменного трудового договора не препятствует признанию отношений трудовыми.
Срок обращения в суд по требованию о невыплаченной заработной плате составляет один год со дня установленного срока выплаты — ч. 2 ст. 392 ТК РФ.
То, что на момент начала работы Вам было 17 лет, не освобождает работодателя от обязанности оформить трудовые отношения и рассчитаться с Вами. Напротив, для труда несовершеннолетних законодательством предусмотрены дополнительные гарантии.
Вывод:
Работодатель не вправе использовать отсутствие официального оформления как основание для задержки заработанных Вами денег. Если Вы прекращаете трудовые отношения, расчет должен быть произведен в день увольнения. При отказе придется прежде всего доказать сам факт работы и размер согласованной оплаты.
Если потребуется, можете обратиться ко мне в чат: помогу составить требование работодателю или обращение в трудовую инспекцию с учетом имеющихся у Вас доказательств. Специализируюсь на трудовом праве, опыт работы более 20 лет.