Вероника, здравствуйте.
Отвечаю по порядку. Срок у прокурора — 3 суток со дня получения жалобы, а если для проверки нужно истребовать материалы или принять иные меры — до 10 суток, о чём вас обязаны уведомить (ст. 124 УПК РФ). Административный иск по КАС РФ подавать не нужно — но путь в суд у вас есть, просто он другой, и ниже объясню какой.
Сначала небольшое уточнение по терминам, оно важно для дальнейших шагов. Жалоба прокурору рассматривается в порядке ст. 124 УПК РФ, а ст. 125 УПК РФ — это жалоба в районный суд. То, что вы назвали свою жалобу «по 125-й», ничего не ломает: прокурор обязан рассмотреть её по существу в порядке ст. 124 независимо от указанной статьи. По итогам он выносит постановление — либо об удовлетворении (тогда отказ в возбуждении дела отменяется, а материал уходит на дополнительную проверку), либо об отказе в удовлетворении, и о принятом решении вас обязаны известить.
Почему не КАС: ч. 4 ст. 1 КАС РФ прямо выводит из-под административного судопроизводства дела, которые проверяются в порядке, установленном УПК. Для решений и бездействия дознавателя, следователя и прокурора на досудебной стадии действует специальный порядок — та самая ст. 125 УПК РФ. Административный иск суд просто не примет к рассмотрению по КАС.
Дальше по ситуации:
Если сроки (3, максимум 10 суток плюс разумное время на доставку почты) вышли, а ответа нет — подавайте жалобу в районный суд по месту проведения проверки в порядке ст. 125 УПК РФ. Обжаловать можно сразу два предмета: само постановление об отказе в возбуждении дела и бездействие прокурора, не рассмотревшего вашу жалобу. Суд обязан проверить жалобу в течение 5 суток со дня поступления (ч. 3 ст. 125 УПК РФ), госпошлина не платится.
Если ответ придёт, но отрицательный — те же два пути: вышестоящему прокурору либо сразу в суд по ст. 125 УПК РФ. Ждать ответа прокурора вы при этом не обязаны: прокурорский и судебный каналы параллельны, обратиться в суд можно в любой момент.
Если жалобу удовлетворят — отказ отменят и материал направят на дополнительную проверку. Здесь важно контролировать результат: по итогам доппроверки нередко выносится новый отказ, и его обжалуют заново, уже с указанием на то, какие требования прокурора остались невыполненными.
Судебная жалоба по ст. 125 УПК РФ готовится под конкретные материалы вашей доследственной проверки — с разбором того, какие доводы не проверены и в чём именно выразилось бездействие. Это уже формат отдельной консультации.