Кто из наследников получит выплаты после смерти мужа?

Получит тот, кто совместно проживал с погибшим. 

Здравствуйте, для ответа на Ваш вопрос необходимо получить уточнение про какие именно выплаты идет речь? Ваш супруг был участником СВО и был подписан контракт?
В соответствии с Указом Президента РФ от 5 марта 2022 г. N 98 «О дополнительных социальных гарантиях военнослужащим, лицам, проходящим службу в войсках национальной гвардии Российской Федерации, и членам их семей» base.garant.ru. Федеральная выплата в размере 5 млн руб.
В данном случае сумма распределяется в равных долях между членами семьи погибшего:
-супруга (супруг), состоящая (состоящий) на день гибели (смерти);

-родители;

— несовершеннолетние дети, дети старше 18 лет, ставшие инвалидами до совершеннолетия, дети до 23 лет, обучающиеся очно;

-а также иждивенцы.

Совершеннолетние дети имеют право также получить компенсацию, в случае отсутствия иных членов семьи перечисленных выше. 

У мужа есть два сына от первого брака, 23 и 35 лет. Я его законная жена. Детей общих нет, кто получит выплаты

Таким образом, Вы как законная супруга имеете право на выплату. Сын, которому 23 года, тоже имеет право на выплату, если обучается очно. Сын 35 лет — нет, так как имеются иные члены семьи.

Помимо Федеральной выплаты, участники семьи имеют право на получение региональной выплаты, которая регулируется региональным законодательством.

Или речь идет про распределение наследственной массы (наследства). 
Если про наследство, то в данном случае в соответствии со статьей 1142 ГК РФ, наследство будет распределено в равных долях между наследниками 1 очереди, а именно: дети, супруг и родители наследодателя. 
В Вашем случае наследство будет распределено в равных долях между сыновьями и супругой. 
С уважением, Егор.