Здравствуйте.
Можете - без личного присутствия сына это делается через доверенность. Регистрация по месту жительства требует личного обращения гражданина по общему правилу (ст. 6 Закона РФ № 5242-I), но закон допускает представительство по доверенности - ст. 185 ГК РФ.
Ключевой момент для военнослужащего: доверенность не обязательно оформлять у нотариуса - она может быть заверена командиром части, и такая доверенность приравнивается к нотариальной. Это удобно, если сын не может лично приехать или обратиться к нотариусу. Но здесь есть нюанс - для проставления штампа о регистрации в паспорте обычно требуют сам паспорт (оригинал), а не только доверенность. Раз у сына "нет прописки вообще" - вероятно, паспорт у него на руках в части, и тут важно правильно организовать передачу документа или оформить всё через МФЦ по определенной схеме, чтобы не получить отказ.
Также стоит понимать разницу между постоянной регистрацией (прописка) и временной - для военнослужащего по контракту в зоне СВО временная регистрация иногда даже предпочтительнее с точки зрения социальных льгот и не мешает сохранению прописки в части постоянного проживания, если она когда-то появится.