Отметку о завершении службы по контракту должна поставить сама часть (или военкомат по месту постановки на учёт) - это не Ваша обязанность, а обязанность кадрового органа и военного комиссариата, куда направляются документы после исключения из списков личного состава (п. 36 Постановления Правительства РФ № 719). Но есть нюанс: закон обязывает Вас лично явиться в военкомат по месту жительства в течение 14 дней со дня исключения из списков части для постановки на воинский учёт - ст. 10 ФЗ № 53-ФЗ. Если этот срок пропущен из-за отсутствия печати - формально ответственность ложится на Вас, поэтому важно зафиксировать, что причина - бездействие кадрового органа, а не Ваша неявка.
Без этой отметки могут возникнуть проблемы: военкомат не поставит на учёт как положено, а это тянет за собой сложности с получением статуса ветерана боевых действий, льгот участника СВО, пенсии за выслугу лет (если она положена) и даже с трудоустройством, где требуют подтверждение периода службы. Пока запись не внесена, военный билет фактически "не закрыт" по этому контракту.
Дальше нужно понимать конкретный алгоритм: куда обращаться срочно, что писать в заявлении, как задокументировать факт затягивания и что делать, если часть продолжит бездействовать. Это я разложу в развёрнутой части - там же дам форму обращения и куда жаловаться, если кадры и дальше будут "в командировке".
Получите конкретный план действий по ситуации: что сделать дальше, какие документы подготовить и на какие сроки ориентироваться.