Как узнать статус поиска супруга, если он числится без вести пропавшим?

Узнать официальный статус поиска можно только через воинскую часть и Главный координационный центр Минобороны - именно туда стекаются все данные по розыску, и по официальному запросу Вам обязаны сообщить, на каком этапе находится дело.

Но здесь важно разделить два разных статуса. Один - оперативный, "числится пропавшим без вести в части", он касается только розыска. Второй - юридический, который даёт право на выплаты, пенсию по потере кормильца, льготы. Этот статус возникает только после решения суда о признании безвестно отсутствующим (ст. 277 ГПК РФ) или после истечения срока для объявления умершим (ст. 45 ГК РФ). Пока такого решения нет, факт сдачи ДНК и справка из части сами по себе никаких прав на выплаты не дают - это только доказательная база для будущего суда.

Сейчас Вам нужно параллельно вести две линии: получать информацию о розыске (через часть и ГКЦ) и готовить материалы для суда, чтобы не терять время - процедура признания безвестно отсутствующим не быстрая. Плюс сейчас для участников СВО применяется упрощённый порядок признания пропавшим без вести (введён отдельными федеральными законами в 2023 году), который сокращает обычные сроки - это стоит проверить применительно к Вашей ситуации конкретно.