Здравствуйте, Татьяна. По общему правилу судебные расходы, в том числе расходы на проведение судебной экспертизы, возлагаются на сторону, не в пользу которой принято решение (ст. 98 ГПК РФ). Если экспертиза не состоялась по причине уклонения законного представителя ребенка от ее проведения (сначала неявка, затем отказ ребенка от сдачи биологических образцов), суд вправе применить последствия, предусмотренные ст. 79 ГПК РФ, и оценить такое поведение при рассмотрении дела.
Если именно Вы оплатили стоимость экспертизы, после вынесения решения суда Вы вправе просить взыскать эти расходы с другой стороны. Соответствующее требование можно заявить до окончания рассмотрения дела либо после вынесения решения в порядке распределения судебных расходов (ст. 98, 104 ГПК РФ).
Поэтому окончательный ответ зависит от содержания решения суда. Если иск будет удовлетворен и суд придет к выводу, что проведение экспертизы стало невозможным вследствие уклонения другой стороны, у Вас имеются основания требовать возмещения понесенных расходов на ее оплату.