Здравствуйте!
В вашей ситуации важно понимать, что обязанность содержать несовершеннолетнего ребёнка лежит на обоих родителях независимо от их отношений и места проживания. Это касается не только питания и одежды, но и расходов, связанных с обучением, если они разумны и необходимы. Проживание в другом городе для получения образования как раз к таким расходам относится.
Если отец добровольно отказывается участвовать в оплате жилья, повлиять на него можно только через юридические механизмы. На практике это делается так: вы обращаетесь в суд с требованием о взыскании дополнительных расходов на ребёнка. Суд вправе обязать второго родителя участвовать в таких расходах, если подтвердите, что обучение в другом городе объективно требует съёма жилья и иных вариантов нет. Обычно суд делит такие расходы пропорционально доходам родителей, но часто ориентируется и на принцип 50/50.
При этом алименты (если они есть) не исключают возможность взыскания именно дополнительных расходов — это отдельное требование. Вам нужно будет подтвердить расходы или их планируемый размер: договор аренды, расчёты, справку о зачислении ребёнка, расстояние и невозможность ежедневного проезда.
Что касается завещания, пока вы в него не вступили и собственность фактически не перешла к вам, это никак не влияет на обязанности отца. Даже после вступления в наследство это не освобождает его от участия в содержании ребёнка.
Если он категорически отказывается договариваться, самый эффективный путь — сразу готовить иск. Как правило, после получения судебного иска позиция второй стороны становится более сговорчивой.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!