Здравствуйте. Переехать на своем автомобиле в другой город Вы можете. Сам факт снятия с регистрационного учета по старому месту жительства не запрещает управлять автомобилем, если автомобиль зарегистрирован, есть СТС, водительское удостоверение и действующий полис ОСАГО. Срок 10 дней для внесения изменений в регистрационные данные автомобиля начинает течь не с момента выписки “в никуда”, а с момента возникновения обстоятельства, требующего изменения регистрационных данных. В Вашем случае таким обстоятельством будет оформление регистрации по новому месту жительства или иное официальное изменение адресных данных владельца. Правила регистрации ТС предусматривают подачу заявления в 10-дневный срок со дня возникновения обстоятельств, требующих изменения регистрационных данных.
Обратиться можно в любое регистрационное подразделение ГИБДД, независимо от места регистрации гражданина. Это прямо предусмотрено Правилами государственной регистрации транспортных средств.
То есть порядок такой: спокойно переезжаете, оформляете регистрацию по новому адресу, после этого в течение 10 дней обращаетесь в ГИБДД или через Госуслуги для внесения изменений в регистрационные данные автомобиля. На Госуслугах также указано: при изменении места прописки сначала нужно получить паспорт с новыми данными и внести изменения в личный кабинет.
Таким образом, ехать можно. Срок 10 дней начнется после официального изменения адреса владельца, а не просто с даты снятия с прежней регистрации или начала переезда.
С уважением,