Здравствуйте! В вашей ситуации сначала нужно разделить два вопроса: получение дубликата договора соцнайма и переоформление его на вас.
Дубликат договора социального найма можно получить через орган, который управляет муниципальным жильём в Москве — обычно это Департамент городского имущества или МФЦ. Обратиться можно лично в МФЦ с паспортом и документами, подтверждающими регистрацию в квартире. Если договор старый и утерян, его поднимут из архива и выдадут копию. Как правило, проблем с этим не возникает, если вы зарегистрированы в квартире.
Теперь по смене нанимателя. В законодательстве нет формальной процедуры «назначить нового ответственного квартиросъёмщика» просто по заявлению. Фактически речь идёт о переоформлении договора соцнайма на другого члена семьи. Это возможно либо с согласия действующего нанимателя, либо при наличии оснований, когда он не может исполнять свои обязанности.
Поскольку бабушка дееспособна, даже несмотря на тяжёлое состояние, формально нужно её согласие на изменение договора. Если она может выразить волю (подписать заявление), тогда вместе с ней подаёте заявление в МФЦ или ДГИ о переоформлении договора на вас. Если она не может подписать, тогда вопрос решается сложнее: либо оформляется нотариальная доверенность (если возможно), либо через суд.
Если согласие получить невозможно, а фактически именно вы проживаете и оплачиваете жильё, тогда остаётся судебный путь: подаётся иск о признании вас нанимателем по договору социального найма. Суд учитывает, кто реально проживает, несёт расходы и ведёт хозяйство. То, что родители давно не живут, будет иметь значение.
Отдельно отмечу, что можно параллельно рассмотреть вопрос признания родителей утратившими право пользования жилым помещением через суд, если они действительно не проживают много лет. Это упростит дальнейшее переоформление.
Начать вам лучше с МФЦ — получить дубликат договора и уточнить, есть ли возможность переоформления по заявлению. Если упрутся в необходимость согласия бабушки, тогда уже готовиться к судебной процедуре.
С наилучшими пожеланиями, Юрий Михайлович!