Можно ли заключить новый контракт в другом регионе при прохождении службы по мобилизации?

Мочь то вы могете, только кто ж вам даст… Вам следует рассмотреть вариант перевода к новому месту военной службы.

Вот здесь изучите Порядок: https://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_24400/1a0a6a80014c9e151f6ed69e779dd10774f76614/

Указ Президента РФ от 16.09.1999 N 1237 (ред. от 31.12.2025) «Вопросы прохождения военной службы» (вместе с «Положением о порядке прохождения военной службы»)
 
Статья 15. Порядок перевода к новому месту военной службы

1. Военнослужащий может быть переведен к новому месту военной службы из одной воинской части в другую (в том числе находящуюся в другой местности) в пределах Вооруженных Сил Российской Федерации (других войск, воинских формирований или органов, воинских подразделений федеральной противопожарной службы) в следующих случаях:

а) по служебной необходимости;

 
б) в порядке продвижения по службе;

в) по состоянию здоровья в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

 
г) по семейным обстоятельствам по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

д) по личной просьбе (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

 
е) в связи с организационно-штатными мероприятиями;

 
ж) в связи с плановой заменой (для военнослужащих, проходящих военную службу по контракту);

 
з) в связи с зачислением в военно-учебное заведение, адъюнктуру, военную докторантуру;

и) в связи с отчислением из военно-учебного заведения, адъюнктуры, военной докторантуры;

 
к) если с учетом характера совершенного преступления военнослужащий, которому назначено наказание в виде ограничения по военной службе, не может быть оставлен в должности, связанной с руководством подчиненными.

Не помешает Вам ознакомиться и со второй частью указанной статьи: 

2. Военнослужащий, проходящий военную службу по контракту, может быть переведен к новому месту военной службы по служебной необходимости с назначением на равную воинскую должность.

Перевод данного военнослужащего к новому месту военной службы с назначением на равную воинскую должность производится без его согласия, за исключением следующих случаев:

а) при невозможности прохождения военной службы в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

б) при невозможности проживания членов семьи военнослужащего (жена, муж, дети в возрасте до 18 лет, дети-учащиеся в возрасте до 23 лет, дети-инвалиды, а также иные лица, состоящие на иждивении военнослужащего и проживающие совместно с ним) в местности, куда он переводится, в соответствии с заключением военно-врачебной комиссии;

в) при необходимости постоянного ухода за проживающими отдельно отцом, матерью, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, не находящимися на полном государственном обеспечении и нуждающимися в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре).

(в ред. Указа Президента РФ от 02.01.2015 N 3)