Может ли прокурор подать касационную жалобу и в какой срок?

Здравствуйте, Сергей.

Да, вы правы: согласно части 2 статьи 390 Уголовно-процессуального кодекса РФ (УПК РФ), приговор суда апелляционной инстанции вступает в законную силу с момента его провозглашения. После этого он может быть пересмотрен только в порядке, установленном главами 47.1, 48.1 и 49 УПК РФ. 

Прокурор вправе подать кассационное представление на вступивший в законную силу приговор апелляционной инстанции. Это право предоставлено должностным лицам органов прокуратуры в соответствии с их компетенцией. 

Срок подачи кассационного представления — 6 месяцев со дня вступления итогового судебного решения в законную силу. Для осуждённого, содержащегося под стражей, срок исчисляется со дня вручения ему копии такого акта. 

Если срок пропущен по уважительной причине (например, болезнь, командировка, беременность и т. д.), его можно восстановить. Для этого необходимо подать ходатайство в суд первой инстанции (суд, вынесший приговор). Отказ в восстановлении срока может быть обжалован в порядке, предусмотренном главой 45.1 УПК РФ. 

Кассационное представление подаётся через суд первой инстанции, который обязан направить его вместе с делом в соответствующий суд кассационной инстанции.