Можно ли уволиться со службы по контракту многодетному отцу с детьми-инвалидами?

Нет оснований для увольнения согласно указа ПРФ 647. Задействовать механизм обращения с рапортом по семейным обстоятельствам не получится (у вас не семейные обстоятельства). Можно обратиться с рапортом об увольнении по собственному желанию (статья 51 пункт 6). В период частичной мобилизации командир будет обязан применить алгоритм рассмотрения рапорта с учетом мнения аттестационной комиссией в/ части (указ ПРФ 580 дсп). Та, в свою очередь, будет рассматривать ваши обстоятельства через призму «исключительности случая».  Это приблизительно означает то, что комиссия должна выявить объективные (не зависящие от вашей воли) причины, побудившие (заставившие ) вас отказаться от дальнейшего прохождения военной службы. И эти причины комиссия, также как и вы должна оценить как уважительные (пункт 6 ст. 51 ФЗ -53) и «исключительные в период ч/ мобилизации (указ ПРФ 580 дсп).

Для справки: «семейные обстоятельства» это только это: 

в) по семейным обстоятельствам:

 
в связи с невозможностью проживания члена семьи военнослужащего по медицинским показаниям в местности, в которой военнослужащий проходит военную службу, и при отсутствии возможности перевода военнослужащего к новому месту военной службы, благоприятному для проживания указанного члена семьи;

в связи с изменением места военной службы мужа-военнослужащего (жены-военнослужащей), связанным с необходимостью переезда семьи в другую местность;

 
в связи с необходимостью постоянного ухода за отцом, матерью, женой, мужем, родным братом, родной сестрой, дедушкой, бабушкой или усыновителем, нуждающимися по состоянию здоровья в соответствии с заключением федерального учреждения медико-социальной экспертизы по их месту жительства в постоянном постороннем уходе (помощи, надзоре), при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;

(в ред. Федеральных законов от 01.12.2004 N 149-ФЗ, от 06.07.2006 N 104-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
КонсультантПлюс: примечание.

О выявлении конституционно-правового смысла абз. 5 пп. «в» п. 3 ст. 51 см. Постановление КС РФ от 27.05.2020 N 26-П.
 
в связи с необходимостью ухода за ребенком, не достигшим возраста 18 лет, которого военнослужащий воспитывает без матери (отца) ребенка;

(в ред. Федерального закона от 30.12.2012 N 288-ФЗ)
(см. текст в предыдущей редакции)
в связи с необходимостью осуществления обязанностей опекуна или попечителя несовершеннолетнего родного брата или несовершеннолетней родной сестры при отсутствии других лиц, обязанных по закону содержать указанных граждан;