Здравствуйте, я инвалид первой группы, могу ли я встать на биржу труда, при том, что группа не рабочая, но работать инвалиду не запрещенно

Да, можете встать на биржу труда, но есть нюансы. Разберём по порядку:

Право на постановку на биржу труда

Инвалиды любых групп имеют право на регистрацию в качестве безработных в центрах занятости (ст. 14 ФЗ № 1032‑1 “О занятости населения в РФ”).
Наличие 1-й группы не запрещает работать, но учитывается при подборе вакансий.
Особенности для инвалидов 1-й группы

Биржа труда подбирает вакансии с учётом состояния здоровья и рекомендаций МСЭК.
Для инвалидов с ограниченной трудоспособностью (например, 1-я группа) могут предложить:

лёгкие профессии;
дистанционную работу;
работу с сокращённым рабочим временем.
Документы для постановки на учёт

Паспорт;
СНИЛС;
ИНН (по желанию);
Справка МСЭК о группе инвалидности;
Документы об образовании, опыте работы.
Льготы и поддержка через центр занятости

Оплата пособия по безработице (размер зависит от региона, но есть минимальный и максимальный порог);
Профессиональное обучение, переобучение, курсы повышения квалификации;
Содействие в трудоустройстве по щадящим условиям;
Частичная компенсация работодателю за приём на работу инвалидов (для работодателя).
Вывод: наличие 1-й группы инвалидности не запрещает встать на биржу труда и получать пособие, но условия и вакансии будут подбираться с учётом ограничений по здоровью.