Добрый день! По действующему законодательству, места жительства несовершеннолетнего до 14 лет, является место жительство его законных представителей (родители, опекуны и т.п.). Если после развода, ребенок по соглашению родителей, остается проживать с матерью, то право пользования по месту регистрации своей он не утрачивает, и может там находится, так как там же зарегистрирован его отец. Выписать его принудительно вы не сможете, в случае приватизации, он автоматически будет включен и получит долю в данной квартире.
Насчет проживания матери. После развода с супругом, мать ребенка теряет родственные связи и соответственно право пользования данным жилым помещением. Вселение возможно только согласие всех проживающих в данной квартире.
Статья 70. Право нанимателя на вселение в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма других граждан в качестве членов своей семьи
1. Наниматель с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, вправе вселить в занимаемое им жилое помещение по договору социального найма своего супруга, своих детей и родителей или с согласия в письменной форме членов своей семьи, в том числе временно отсутствующих членов своей семьи, и наймодателя — других граждан в качестве проживающих совместно с ним членов своей семьи. Наймодатель может запретить вселение граждан в качестве проживающих совместно с нанимателем членов его семьи в случае, если после их вселения общая площадь соответствующего жилого помещения на одного члена семьи составит менее учетной нормы. На вселение к родителям их несовершеннолетних детей не требуется согласие остальных членов семьи нанимателя и согласие наймодателя.
2. Вселение в жилое помещение граждан в качестве членов семьи нанимателя влечет за собой изменение соответствующего договора социального найма жилого помещения в части необходимости указания в данном договоре нового члена семьи нанимателя.