Сколько примерно времени займет весь процесс?

Дело в том, что право обратиться с заявлением в суд о признании гражданина недееспособным, обладает весьма ограниченный круг лиц. В соответствии со ст. 281 ГПК РФ

2. Дело о признании гражданина недееспособным вследствие психического расстройства может быть возбуждено в суде на основании заявления членов его семьи, близких родственников (родителей, детей, братьев, сестер) независимо от совместного с ним проживания, органа опеки и попечительства, медицинской организации, оказывающей психиатрическую помощь, или стационарной организации социального обслуживания, предназначенной для лиц, страдающих психическими расстройствами.

Так как Вы племянник, еще и не и не прямой, то если Вы не проживаете совместно с дочерью (не вселены в ее жилое помещение на правах члена семьи), у Вас просто нет права подать такое заявление.
Для Вас вариантом является только обращаться в орган опеки и попечительства, чтобы они сами вышли в суд с таким заявлением.

Общие требования к содержанию такого заявления перечислены в ст. 282 ГПК РФ
www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_39570/10b32c31a2826a888113ad0c3e28fc24053efd2f/.

2. Какова последовательность процесса, на каком этапе потребуется мое присутствие?

 может потребоваться в ходе судебного заседания.

3. Какие документы потребуются, чтобы потом оформить опекунство, учитывая, что я не ближайший родственник, а сын двоюродного брата?

Перечень документов дается в Постановлении  по ссылке ниже

https://base.garant.ru/199774/?ysclid=mk4caywy3s471288868

4. Будет ли суд уведомлять ее, что я подал иск? Не хотелось бы этого, так как это осложнит мое дальнейшее взаимодействие с ней.

без нее процесс не пройдет.

Нужно же провести экспертизу.

2. Какова последовательность процесса, на каком этапе потребуется мое присутствие?

Заявление в орган опеки и попечительства подавайте, а после вступления решения суда в законную силу о признании тёти недееспособной можете оформить над ней опекунство.

3. Какие документы потребуются, чтобы потом оформить опекунство, учитывая, что я не ближайший родственник, а сын двоюродного брата?

В соответствии со ст. 35 Гражданского Кодекса РФ:

3. Опекун или попечитель может быть назначен только с его согласия. При этом должны учитываться его нравственные и иные личные качества, способность к выполнению обязанностей опекуна или попечителя, отношения, существующие между ним и лицом, нуждающимся в опеке или попечительстве, а если это возможно — и желание подопечного.

Перечень документов, в том числе, и подтверждающие родственные отношения, и характеристики, Вы сможете узнать в органе опеки и попечительства.

4. Будет ли суд уведомлять ее, что я подал иск? Не хотелось бы этого, так как это осложнит мое дальнейшее взаимодействие с ней. 

Вполне возможно, что в ходе  судебного рассмотрения дела тётя узнает о том, что именно Вы инициировали признание её недееспособной, т.к. она не лишена возможности задавать вопросы и знакомиться с материалами дела.

5. Сколько примерно времени займет весь процесс?

Процесс займёт не менее полугода, поскольку по таким делам суд всегда назначает судебно-психиатрическую экспертизу для определения, может ли гражданин понимать значение своих действий и руководить ими.

Если я буду обращаться в органы опеки, что мне нужно будет им предоставить, чтобы они начали процесс и рассматривали меня как потенциального опекуна?

 Подавайте заявление, к нему прилагайте документы, подтверждающие родственные отношения, имеющиеся медицинские документы о состоянии здоровья тёти, остальные документы орган опеки и попечительства может самостоятельно собрать.