Какое он имеет право на квартиру

Ирина, увы Ваш муж не имеет права наследовать муниципальную квартиру бабушки после её смерти, поскольку это не собственность, а договор социального найма (ЖК РФ ст. 60, 67, 69). Квартира остаётся в муниципальной собственности, а договор переоформят на одного из членов семьи нанимателя, проживающих в ней на момент смерти (ст. 82 ЖК РФ). 

Бывшая прописка (до 5 лет) не даёт статуса члена семьи: Членом семьи считается тот, кто постоянно проживает в квартире и ведёт совместное хозяйство (ст. 69 ЖК РФ). Если муж выписался давно и не живёт там сейчас, он не член семьи бабушки. Суды подтверждают: выезд + отсутствие проживания лишает прав.
После смерти бабушки договор перезаключат с одним из проживающих членов семьи (другие члены сохранят право на проживание). Если никого нет — администрация может расторгнуть договор и выселить всех (ст. 83 ЖК РФ).
Может ли прописаться ваш муж прописаться в квартире без согласия бабушки
Нет, не может без её согласия. Как ответственный наниматель, бабушка имеет право:

Соглашаться на прописку членов семьи (ст. 70 ЖК РФ).
Отказать, если есть основания (например, плохие условия, долги по коммуналке).
Если бабушка недееспособна (не следит за собой), муж может через опеку/прокуратуру признать её недееспособной (ст. 29 ГК РФ), назначить опекуна (родственника или орган опеки), а потом опекун даст согласие на прописку. Но это сложно: нужен медэкспертиза, суд, и бабушка должна быть признана инвалидом 1 группы или аналогично.