И каковы дальнейшие мои действия?

Добрый день.

Положены ли детям выплаты в этом случае?

 Вам нужно будет установить факт признания отцовства.

Поскольку 

У детей в свидетельство о рождении отец не вписан.

 то Ваш гражданский супруг их отцом юридически не является.

Именно в этой связи Вам потребуется обратиться в суд с заявлением об установлении факта признания им отцовства.

В ст. 50 Семейного кодекса РФ оговорено, что 

В случае смерти лица, которое признавало себя отцом ребенка, но не состояло в браке с матерью ребенка, факт признания им отцовства может быть установлен в судебном порядке по правилам, установленным гражданским процессуальным законодательством.

Только после вынесения и вступления решения суда в законную силу — если дочери еще нет 18 лет, она будет претендовать на получение выплат в связи с гибелью отца. 

Добрый день. Его дочери положены все выплаты, при  установлении отцовства в судебном порядке

Относительно не его дочери, необходимо обращаться в суд с заявление о признании его находящейся на его иждивении в порядке ст. 24 ГПК РФ.

Суд устанавливает факты, от которых зависит возникновение, изменение, прекращение личных или имущественных прав граждан, организаций.

 
 
2) факта нахождения на иждивении

У детей в свидетельство о рождении отец не вписан.

 Добрый день! Нужно устанавливать отцовство, доказывать в суде, что отец признавал детей (или одного родного ребенка) своими:

СК РФ Статья 50. Установление судом факта признания отцовства
 
В случае смерти лица, которое признавало себя отцом ребенка, но не состояло в браке с матерью ребенка, факт признания им отцовства может быть установлен в судебном порядке по правилам, установленным гражданским процессуальным законодательством.

Положены ли детям выплаты в этом случае?

 Если отцовство будет установлено, то дети выплаты получат.

Здравствуйте, Татьяна, при отсутствии записи об отце в свидетельствах о рождении детям, как правило, сначала нужно юридически подтвердить происхождение от погибшего, иначе уполномоченный орган может отказать в федеральных выплатах именно как детям погибшего (одного отчества и факта совместного проживания обычно недостаточно).

Основание для суда при смерти мужчины, признававшего себя отцом, — ст. 50 СК РФ, а процессуально это чаще идёт как установление юридически значимого факта в порядке особого производства (ст. 262, 264 ГПК РФ) когда суду нужно установить юридический факт (например, что погибший признавал отцовство), и никто из заинтересованных лиц не спорит.

После вступления решения суда в силу сведения об отце вносятся через ЗАГС (исправления/изменения в актовых записях делаются на основании судебного решения).

Дальше уже с обновлёнными документами имеет смысл обращаться за выплатами по линии: единовременная выплата членам семьи при гибели в СВО по Указу Президента № 98, страховая выплата по ФЗ № 52-ФЗ, а также выплаты по ФЗ № 306-ФЗ — но ключевая развилка здесь в том, признана ли гибель/смерть связанной с исполнением обязанностей службы (либо смерть в пределах установленных случаев после увольнения вследствие полученного при службе увечья/заболевания).

Поэтому параллельно запросите (через воинскую часть/военкомат) документы о статусе и обстоятельствах смерти. это такие документы как извещение о гибели (смерти), справку/заключение о причине и обстоятельствах, документы о прохождении службы/участии в СВО — без них даже при установленном отцовстве может быть спор по основанию выплаты.

Отдельно про вас как сожительницу: с 2025 года предусмотрен механизм через суд для установления факта совместного проживания и ведения общего хозяйства для получения мер соцподдержки, но он работает только при выполнении условий закона (в т.ч. критерии по общему несовершеннолетнему ребёнку и иные ограничения), поэтому без проверки этих фактов обещать право на выплаты нельзя.