Знакомый подписал контракт с категорией В в военном билете, заболевание астма, а его сейчас готовят в штурмовики, законно это, если нет, что делать?

Юридически — да, но с нюансами.
Законодательство разрешает заключать контракты с гражданами, имеющими категорию «В», в период мобилизации или военного положения. Перечень заболеваний, с которыми категорически нельзя брать на контракт, ограничен (Приказ МО РФ № 506), и астма в него чаще всего не входит, если она не в тяжелой форме с дыхательной недостаточностью.

В законе нет прямого запрета назначать военнослужащего с категорией «В» на должность «штурмовик». Командование имеет право распределять личный состав исходя из боевой необходимости.
Категория «В» означает, что у человека есть медицинские противопоказания к определенным нагрузкам. Штурмовые действия объективно несовместимы с диагнозом «бронхиальная астма» из-за риска приступа в боевых условиях (пыль, дым, физическое перенапряжение).
 
Если контракт уже подписан добровольно с категорией «В», расторгнуть его по болезни крайне сложно (нужна только категория «Д»). Единственный реальный путь — добиваться через ВВК перевода в тыловое подразделение (обеспечение, связь, ремонт), где состояние здоровья позволит выполнять задачи без риска для жизни.
Помните: Суды и прокуратура неохотно вмешиваются в вопросы распределения бойцов, поэтому основной упор нужно делать именно на медицинские документы и невозможность выполнения задач по состоянию здоровья (угроза срыва боевой задачи из-за приступа).